A가 B가 되기 위해선 C승을 해야한다.
덧셈의 역연산, 곱셈의 역연산, 그리고 지수의 역연산
기초지식
함수
극한 \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\)로부터 \[\lim_{x\rightarrow a}(3f(x))=3L\]을 얻는다. 뭐든 그려보면 이해가 쉽습니다. 에서 입력(\(x\))과 출력(\(f(x)=y\))로 정의 할 때, 왼쪽과 같이 지수함수가 그려집니다. 이 때 유의 깊게 봐야 하는 사실은 [입력:모든수, 출력:양수(음수,0 제외)]라는 것입니다.지수함수(\( \text{(}a) f\bigl(x\bigr) = (a^x) \))의 개형
오른쪽 그림은 로그 함수입니다. 지수함수에서 출력을 입력이라고 가정하고 하나씩 넣어보면 오른쪽 그림과 같이 나옵니다. 특징이라면 0을 포함해서 음력값은 포함이 되지 않는다는 것입니다. 이것은 마치 \( x = y \)그래프를 기준으로 대칭인 것처럼 보입니다. 비단 지수그래프에 한정한 것이 아니고, 모든 함수에 동일하게 적용됩니다. 예를들면,
왼쪽은 2차함수, 오른쪽은 2차함수를 역함수한 무리함수(무리수 개념이 등장하면서 그려지는..)를 보여줍니다. 함수의 특성상 입력당 하나의 출력만 가능하다는 가정하에 그렇습니다(만, 원이 나오면 이 개념도 깨집니다.) 여하튼,
역함수라는 것이 입력과 출력이 뒤바뀐다는 개념은 이해하셨으리라고 믿습니다.
용어
로그 a에 x라고 읽습니다.
로그의 정의는
밑을 기준으로 몇(?) 지수승을 해야 진수(value)가 나오느냐입니다. 예를 들어, \( \log_{2}{8} \)은 \( {2^?}=8 \)과 같습니다. 이는 충분한 연습이 필요로 합니다.
\( 5^3 = 125 \)로 연습을 해보면: "5가 125가 되려면, 3승해주어야 한다." 그러므로, \( \log_{5}125 = 3 \)
\( 2^{10} = 1024 \)로 연습을 해보면: "2가 1024가 되려면, 10승해주어야 한다." 그러므로, \( \log_{2}1024 = 10 \)
\( a^{b} = c \)로 연습을 해보면: "a가 c가 되려면, b승해주어야 한다." 그러므로, \( \log_{a}c = b \)
규칙
지수함수 복습
$$ x^1 =x $$
$$ x^0 = 1 $$
$$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$
$$ {a^x}{b^x} = (ab)^x $$
$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$
$$ a^{-t} = {1 \over a^t} $$
$$ a^{1 \over t} = \sqrt[t]{a} $$
[지수편 복습하기]
로그 규칙
어떤 수를 n제곱 했을 때 자기자신이 나오려면, 1번 곱할 수 밖에 없습니다. (\(x^1 = x\))
$$ \log_{x}x =1 $$
어떤 수를 n제곱 했을 때 1이 나오려면, n은 0일 수 밖에 없습니다. (\( x^0 =1 \))
$$ \log_{x}1 =0 $$
어떤 두 수의 곱은 밑이 같다면 지수끼리 더할 수 있습니다. (\( x^a \times x^b = x^{a+b} \))| 순번 | 가정 | 로그의 정의 |
| (1) | $$ x^a = A $$ | $$ \log_{x}A=a $$ |
| (2) | $$ x^b = B $$ | $$ \log_{x}B=b $$ |
| (3) | $$ x^a \times x^b = AB = x^{a+b} $$ | $$ \log_{x}AB=a+b $$ |
$$ \log_{x}AB= \log_{x}A+\log_{x}B $$
\( {a^x}{b^x} = (ab)^x \)에서,\( a^x = A, b^x = B \)라 할 때, 로그의 정의에 의해
\( \log_{a}A=x, \log_{b}B=x\)이고,
\( (ab)^x = AB \)는 로그의 정의에 의해 \( \log_{ab}AB= \log_{a}A = \log_{b}B \) 나가리
| 순번 | 가정 | 로그의 정의 |
| (1) | $$ A^b = B $$ | $$ \log_A B=b $$ |
| (2) | $$ B^c = C $$ | $$ \log_B C=c $$ |
| (3) | $$ A^{bc} = C $$ | $$ \log_A C=bc $$ |
$$ \log_A B \times \log_B C = \log_A C $$
$$ \log_A B \times \log_B C \times \log_C D \times \log_D E = \log_A E $$
위 규칙을 응용하면 다음도 가능합니다.
$$ \log_B C = \frac{\log_A C}{\log_A B} $$
A = C를 대입하면,
$$ \log_B C = \frac{\log_C C}{\log_C B} = \frac{1}{\log_C B}$$
기타 규칙들을 묶어서 설명하자면,
| 순번 | 가정 | 로그의 정의 |
| (1) | $$ a^x = A $$ | $$ \log_a A = x {\color{red}\Rightarrow} k \log_a A = kx $$ |
| (2) | $$ a^{kx} = A^k $$ | $$ \log_a A^k = kx $$ |
$$ \log_a A^k = k\log_a A $$
| 순번 | 가정 | 로그의 정의 |
| (1) | $$ a^{kx} = A $$ | $$ \log_a A^k = kx {\color{red}\Rightarrow} {\frac{1}{k}} \log_a A = x $$ |
| (2) | $$ (a^k)^x = A $$ | $$ \log_{a^k} A = x $$ |
$$ \log_{a^k} A = {\frac{1}{k}} \log_a A $$
복습
여기까지 복습하면,
$$ \log_{x}x =1 $$
$$ \log_{x}1 =0 $$
$$ \log_{x}AB= \log_{x}A+\log_{x}B $$
$$ \log_A B \times \log_B C = \log_A C $$
$$ \log_B C = \frac{\log_A C}{\log_A B} $$
$$ \log_B C = \frac{1}{\log_C B}$$
$$ \log_a A^k = k\log_a A $$
$$ \log_{a^k} A = {\frac{1}{k}} \log_a A $$
로그의 정의 조건
진수value의 조건
지수의 출력
밑base의 조건
이번에 생각할 주제는 \( y = 1^x \)도 로그로 만들 수 있는가 입니다. 이 함수의 역함수(\( x = 1^y \))는 $$ \log_{1} x = y = f(x)$$ 와 같이 표현됩니다. 이는 f(1)에서 1의 n제곱이 1을 만족하는 n이 무수히 많음으로 부정(정할 수 없음)이 되고, 와 같이 표현됩니다. 이는 f(not 1)에서 1의 n제곱이 1을 만족하는 n이 존재할 수 없으므로 불능(고자)가 되므로,어떠한 구간에서도 구할 수 없음이 되어버립니다. 이를 그래프로 표현하자면,
왼쪽이 지수1 그래프이고, 오른쪽이 로그1그래프입니다.