덧셈이 모여 곱셈, 곱셈이 모여 지수, 지수를 모으면?

매우 큰 수를 다룰 때, 지수를 다룬다고 합니다. 이는 지구의 나이나 태양까지의 거리, 온갖 천체들이 아니면 살면서 한 번도 사용하지 않을 것 같은 내용입니다. 하지만 지수는 매우 작은 것을 나타내는대도 아주 유용하게 사용하고 있습니다. 컴퓨터의 마이크로 칩과 미생물 등을 다룰 때도 유용합니다. 또한 장사를 하고 재무를 세우는데도 지수는 아주 유용하게 사용됩니다. 이쯤 되면 지수를 모르고 살 수 없을 것 같습니다. 꼭 그렇지도 않습니다. 세상에 수학으로 잘 먹고 잘 살았으면, 우리네 엄마 아빠도 늦게라도 지수공부를 했을 것입니다. 지수는 여러분의 계산에 온 우주에서 가장 강력한 신생아의 아장아장 만큼 정교함을 더해줄 것입니다.

기초지식

용어

$ 3 + 3 + 3 + 3 = 3 \times 4 $ 가 됩니다. 지수기호는 ×(곱하기)기호에 대한 중복을 간단하게 표현하는 방법을 제시합니다. $ 3\times 3\times 3\times 3=3^4$ 가 됩니다.

기본 법칙

곱셈을 몇 번 하는지에 대한 연산이므로, 3을 한번 곱한 것은 $ 3^1 $, 3을 0번 곱한 것은 $3^0$ 으로 쓸 수 있으며, 그 기준은 1이 됩니다. 즉, $3^1 = 1\times 3$이고 $3^0 = 1$이 됩니다. 이를 일반화 하면 다음과 같습니다.

$$ x^1 =x $$ $$ x^0 = 1 $$

①지수 1은 생략가능하다. 그리고 ②$x^0$은 1이라는 성질 때문에 약분 등에 앞으로 백만번은 우려먹게 됩니다.

이를 기호 $a$ 와 함께 사용하면: \[ \begin{aligned} a\times a\times a\times a &= (a\times a)\times (a\times a)=a^{\color{red}2} \times a^{\color{red}2} = a^{\color{red}4} \\ &= a \times ( a \times a \times a )= a^3 \times a^1 = a^4 \\ &= (a \times a \times a ) \times a = a^1 \times a^3 = a^4\end{aligned} \] 와 같이 표현해도 됩니다. 여기서 우리는 지수의 첫 번째 법칙을 찾게 됩니다.

$$ x^a \times x^b = x^{a{\color{red}{+}}b} $$

곱셈은 교환 법칙이 성립하기 때문에 다음도 성립합니다. $$ \begin{aligned} a^3 \times b^3 &= a \times a \times a \times b \times b \times b \\ &= a \times b \times a \times b \times a \times b \\ &= ab \times ab \times ab \\ &= (ab)^3 \end{aligned}$$

$$ {a^x}{b^x} = (ab)^x $$

그렇다면 $ x^{a {\color{red}\times} b} $ 은 어떻게 표현 될까요? \[ \begin{aligned} x^{a {\color{red}\times} b} &= \prod^b x^a = {\underbrace{x^a \times x^a \cdots x^a} \atop b개} = {\underbrace{{\underbrace{x \times x \times \cdots x} \atop a개} \times x^a \cdots x^a} \atop b개} = {\underbrace{x \times x \times x \times x \cdots x} \atop a \times b개} \\ &= \prod^{a \times b}x = {\underbrace{x \times x \times x \times x \cdots x} \atop \color{red}{b \times a개}} = x^{b {\color{red}\times} a}\end{aligned}\] 네, 뭘 기대하셨습니까? 뭔가 더 일어나진 않습니다. 실망시켜드려서 미안합니다. 중간에 나온 $ \prod $ 는 prodoct라는 기호입니다. 곱연산이 반복 된다는 의미입니다. ^{[1]

수학이란게 변태적으로 간결한 표현을 추구하지 않습니까? 이제 수학선생님이라고 부르지 마십시오. '안녕하세요~ 변태 선생님'이라고 하십시오.}

그렇다고 아무런 수확이 없었던 것은 아닙니다. $ {(x^a)^b}$를 생각해보면 : \[ (x^a)^b = {\underbrace {x^a \times x^a \times \cdots x^a} \atop b번} = x^{(a \times b)} =(x^b)^a \] 이는 $ x^{a^b} $와는 확실히 다른 연산임에 주의해야합니다. 간단히 생각해서 $2^{3^2} $를 연산함에 있어서, $2^{(3^2)} = 2^9 = 512$와 $ (2^3)^2 =8^2=64 $가 다른 점을 보면 직감적으로 알 수 있습니다.

$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

여담으로 $ {2^3}^2 $와 같이 계속 탑처럼 지수를 n번 반복하는 연산에 대해서도 정의된 연산자가 있습니다. \[ \overset{n}{\overbrace{a^{a^{\cdots^a}} }}=a \uparrow\uparrow n \] 테트레이션_tetration이라하고, tet=4를 의미합니다. 덧셈, 곱셈, 지수에 이은 4차 연산이라는 의미입니다.
지수는 3차 연산이면서, 동시에 하나의 표현방법일 뿐입니다. 4를 나타내는 방법이 4 이거나, $ 2 \times 2$ 이거나 $ 2^2 $ 일수 있습니다. 에서 새로운 개념의 확장이 아니라는 의미입니다. 지수부에 음수와 분수도 넣을 수 있다는 뜻이 됩니다. 일단 재미삼아 음수의 대표인 -1과 분수의 대표 $1 \over 2 $를 넣어보면 충격적인 결과를 얻을 수 있습니다. $$ \begin{aligned} a^{-1} \times a &= {1 \over a} \times a \\a^{-1} \times a^1 &= 1 \\a^{-1+1} &= 1 \\a^{0} &= 1 \\ 1 &= 1 \end{aligned} $$

$$ a^{-t} = {1 \over a^t} $$

$$ \begin{aligned} a &= (\sqrt a)^2 & \dots ① \\ a &= a^{1} = a^{{1 \over 2}+{1 \over 2}} = a^{1 \over 2} \times a^{1 \over 2} = (a^{1 \over 2})^2 & \dots ② \\ a &= (\sqrt a)^2 = (a^{1 \over 2})^2 &\because ①=② \end{aligned}$$

$$ a^{1 \over t} = \sqrt[t]{a} $$

이런 괴씸한 사람들! 처음부터 지수 하나만 가르칠 것이지, 왜 분수고 제곱근(루트)을 가르쳤던 것일까요? 이는 그저 더 먼저 표현되었던 방식이고, 그래서 이미 많은 사람들이 쓰고 있기 때문에 어쩔 수 없이 가르친다고 보는것이 맞을 것입니다. 'ㅐ'와 'ㅔ'는 왜 가르칩니까? 하나로 써서 문제가 될 것 같으면 '배'와 '배'와 '눈'과 '눈'이 이미 오류가 있다고 자폭하는 꼴입니다. 그냥 많이 쓰니까 어쩔 수 없이 쓰는 겁니다.
위 사실을 복합적으로 사용하면 다음과 같이 사용할 수도 있습니다. $$ \frac{1}{a^{x}}=\frac{1^{x}}{a^{x}}=\left(\frac{1}{a}\right)^{x}=\left(a^{-1}\right)^{x}=a^{-x} $$ $$ \frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y} $$

복습

$$ x^1 =x $$ $$ x^0 = 1 $$ $$ x^a \times x^b = x^{a{\color{red}{+}}b} $$ $$ {a^x}{b^x} = (ab)^x $$ $$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$ $$ a^{-t} = {1 \over a^t} $$ $$ a^{1 \over t} = \sqrt[t]{a} $$

그래프

지수 그래프

이렇게 지수부에 이것저것 넣어보려는 시도는 그래프로 그리면 그 특성을 좀 더 직관적으로 알 수 있습니다. 연습삼아 $f(x) = 2^x$에 관한 그래프를 그려봅니다. 처음에는 0, 1, 2를 넣어보고, -1, -2 그리고, ${1 \over 2}=0.5$ ${1 \over 4}=0.25$를 넣어봅니다. 복잡한 유도식은 제쳐놓고, 계산기를 이용해도 좋습니다. 아무리 계산기를 사용해도 이것은 상당한 노가다를 요구합니다. 이 그래프를 툴로 그리면 아래와 같습니다. 간단히 초록 점을 클릭해서 입력값과 출력 값을 알아볼 수 있습니다.
그래프 직접 그려보기 위 그래프에서 기억할 점은 2가지입니다.

절대 0 이하로 줄어들지 않는다.(0 포함)
계속 늘어나기만 한다.(=증가함수이다.)

이러한 성질을 어떻게 사용할 수 있을까요? $$ x = y \text{ } 라면, \text{ } x^t = y^t \text{ } \text{ } 이다. $$ 이렇게 외워도 됩니다. 그런데,

$$ x = y \text{ } 라면, \text{ } x + t = y + t \text{ } 이다. $$ $$ x = y \text{ } 라면, \text{ } x \times t = y \times t \text{ } 이다. $$ $$ x = y \text{ } 라면, \text{ } x^t = y^t \text{ } \text{ } 이다. $$ $$ x = y \text{ }라면, \text{ } \sin x = \sin y \text{ } 이다. $$ $$ x = y \text{ }라면, \text{ } \log x = \log y \text{ } 이다. $$ $$ x = y \text{ }라면, \text{ } | x | = | y | \text{ } 이다. $$

를 외우시겠습니까? 저라면,

$$ x = y \text{ }라면, f(x) = f(y) 이다. $$

등식(등호가 포함된 식)에서는 양변에 무슨 짓을 해도 같다.로 외우시겠습니까? 이걸 어디다가 써먹냐면, 만약 $2^{\frac{3}{2}} + 1 ?=3^{\frac{2}{3}} + 1 $ 에서 어느것이 더 큰지 물어볼 때 쓰입니다. 양변에 1빼고, 6승 하면 되겠지요?

지수에 넣고 싶은 것 넣어봤으니, 이번에는 밑_base에 이것 저것 넣어봅시다. 일단 지수 $x$는 고정하고, 지수를 t로 치환해서 그려봅시다. $f(t, x) = t^x $를 그려봅시다.
밑_base수정해보기

조건

밑을 정하는 과정에서 아마도 교과서나 어디선가 $a \neq 0$ 또는 $a \gt 0$ 등과 같이 조건을 붙이는 것을 본 적이 있을 것입니다. ~~사실 푸는 입장에서는 걍 없는 문장이나 다름 없기 때문에 대부분 호탕하게 무시해도 되긴 합니다만,~~ 썰 풀이용으로 한 번 쯤 들여다 봅시다. $ f(x) = 0^x $부터 살펴봅시다(아래). 어떤수건 0을 곱하면 0기 때문에 모든 영역에서 0일 것 같은데, 음수의 영역에서는 그래프가 $ \frac{1}{양수부분} $ 으로 그려져야 하는데, $ \frac{1}{0} $가 정의되지 않기 때문에(무한대), 그래프가 그려지지 않는 모습을 볼 수 있습니다.

문제는 $ 0^0 $에서 0으로 정의하면 0이면서, 무한대가 되야하는 이상한 상황이 됩니다. 이 때, 1로 정의하면 본인의 역수도 1이기 때문에 편리한 측면이 있습니다. 지수 외에도 많은 경우 1로 정의 하는 경우가 있지만, 어디까지나 $ 0^0 $은 계산의 편의를 위해서이고 절대적으로 1이라고 할 수는 없을 것입니다. (0이나 불능으로 계산하는 경우도 있습니다만 크게 의미가 있나 싶습니다.) 다음은 밑이 음수인 경우입니다. 음수인 경우 실수로 나타나지 않는 경우가 존재하는데, 직교좌표계가 복소수를 나타낼 수 없기 때문이고, 상상을 해본다면 종이를 뚫고 간다고 해야할 것입니다. 뚫고 가는 순간에 우리 눈에 보인다고 보면 되겠네요. 자세한 내용은 허수에서 다루어야 할 것 같습니다. 결론은 밑이 0일때는 계산하는 것이 큰 의미가 없고, 음수일 때는 허수의 영역으로 확장되므로 일단 나중에 생각해보자. 정도가 될 것 같습니다.

실용성

꼭 건축계가 아니더라도 공학이나, 패션 등에서라도 허접하게 만들 생각이 아니라면, 정확하고 딱 맞는 제단을 요구 할 것입니다. 안타깝게도 대부분의 제단 도구들은(협력사도 마찬가지로) 소수점 단위로 입력을 받습니다. 이 때는 정확한 치수까지는 무리수의 영역까지 정확하게 구하더라도 마지막 순간에는 유효자릿수를 고려한 최소단위를 산출해야합니다. 그러면 $ {10^{3.1}} $를 어떻게 구하겠습니까? 물론 계산기를 이용해서 구하면 되겠지만, 이 계산기는 도대체 어떻게 알고 있는지 궁금해집니다.
우선 가장 간단한 것 부터 접근하는 것이 좋을 것 같습니다. 다음은 제곱근을 수기로 구하는 방법입니다.
원리는 간단합니다. $ (p + q)^2 = p^2 + 2 p \dot q + q^2 $ 에서 $ p $ 를 10의 자리수, $ q $를 1의 자리수라고 보면 됩니다. $ p^2 $ 은 앞선 연산 에서 빠집니다. 그러면 $ (2p + q)q $를 어떻게 만들어 줄 것인지 고민하면 됩니다. 이를 고민하면서 살펴보면 위 방식이 어떻게 동작하는지 보이기 시작할 것입니다.

이제 제곱근을 구할 수 있습니다. 4제곱근도 구할 수 있나요? 8제곱근도 구할 수 있나요? 그러면 $ 2^{3.6} $ 과 같은 숫자는 어떻게 구할 수 있을까요? 0.6을 0.5와 0.25와 0.125와 0.0625등을 이리 저리 조합해서 만들 수 있나요? 아래표는 제곱근만을 이용해서 $ 2^{0.6} $을 만들어 본 것입니다.

n	1/n	sqrt(sqrt(…))	증감	지수	산출된 값	정밀도
1	0.5	1.414213562	+	0.5	1.414213562	0.101503004
2	0.25	1.189207115	+	0.75	1.681792831	-0.166076264
3	0.125	1.090507733	-	0.625	1.542210825	-0.026494259
4	0.0625	1.044273782	-	0.5625	1.476826146	0.038890421
5	0.03125	1.021897149	+	0.59375	1.509164428	0.006552139
6	0.015625	1.010889286	+	0.609375	1.525598151	-0.009881584
7	0.0078125	1.005429901	-	0.6015625	1.517359041	-0.001642475
8	0.00390625	1.002711275	-	0.59765625	1.513256187	0.002460379
9	0.001953125	1.00135472	+	0.599609375	1.515306226	0.000410341

컴퓨터 공학에서 이러한 작업은 아주 보편적으로 일어나고 있습니다. 아마도 조금 눈치가 빠른 분이라면, 정확하게 맞출 수 있는가에 대한 의구심을 갖을 것입니다. 이는 아직까지도 풀리지 않았으며, 앞으로도 풀리지 않을 과제입니다. 사람의 손가락이 4개였다면 인류의 발전 속도가 지금과는 달랐을지도 모를일입니다.