2진법 이해하기

기본개념

2진법이란

0과 1만 사용하는 숫자체계를 2진수라고 합니다. 3진수는 0, 1, 2를 이용하는 숫자입니다. 10진수는 0부터 9까지 이용하는 숫자입니다. 11진수는 0~9에 한 가지 문자를 더 한 숫자입니다. 통상적으로 11번째 문자는 a를 사용합니다. 표기 법:

2진수 11 → \( 11_{(2)} \)

8진수 52 → \( 52_{(8)} \)

16진수 15 → \( 15_{(16)} \)

다음은 10진법이 다른 진법에서 어떻게 표현되는지 보여줍니다.

10진법 :

2진법 :

5진법 :

8진법 :

16진법 :

10진법에서 9보다 큰 수를 표현하기 위해 9 다음 수는 9에서 1을 더해서 10이 됩니다. 그리고 11, 12, 13 이렇게 커지다가 19가 되면 다시 9를 0으로 바꾸고 20이 됩니다. 같은 원리입니다.

\( \begin{aligned} 0_{(2)} &= 0_{(10)} \\ 1_{(2)} &= 1_{(10)} \\ 10_{(2)} &= 2_{(10)} \\ 11_{(2)} &= 3_{(10)} \\ 100_{(2)} &= 4_{(10)} \end{aligned} \)

2진수 100은 10진수로 4입니다. 2진수로 표현하게 되면 자릿 수가 많이 필요할 것입니다. 10진수로 999는 3자리 밖에 되지 않지만 2진수로 바꾸면 1100100 무려 7자리나 됩니다.

중첩되다

만약 작은 수의 진법을 바꾸는 것은 쉽습니다. 만약 10진수 100000을 2진수로 바꿀 수 있나요?

1234는 1000+200+30+4입니다. 그리고 1000은 10진수가 3번 중첩된 모양\( 10^3 \)이지요. 당연히 2진법 1100도 1000+100+0+0과 같습니다.

2진법 1000은 2가 3번 중첩된 모양\( 2^3 \)입니다. 즉 2진수 1000은 10진수 8입니다. 같은 방법으로 1100을 계산해보면 8 + 4 + 0 + 0 = 12가 됩니다. 2진수 1100은 10진수로 12입니다.

\( \begin{aligned} 101010_{(2)} &= 100000_{(2)} + 1000_{(2)} + 10_{(2)} \\ &= 1 * 2^5 + 1 * 2^3 + 1 * 2^1 \\ &= 32 + 8 + 1 = 41 \end{aligned} \)

연산

곱셈

\( 123_{(10)} \)보다 \( 1230_{(10)} \)은 10배 큽니다.
\( 9000_{(10)} \)보다 \( 900_{(10)} \)은 10배 작습니다.

우리는 10진수에서 10배 할 때마다 숫자의 맨 오른쪽에 0 하나를 붙입니다.
\( \frac{1}{10} \)배 할 때는 맨 오른쪽의 0을 하나 지웁니다.

2진수도 마찬가지입니다. 2진수에서 2배 할 때는 오른쪽에 0 하나를 붙입니다.
2진수에서 \( 11100_{(2)} \)은 \( 1110_{(2)} \)보다 2배 큽니다.
\( 1110_{(2)} \)보다 2배 작은 수는 \( 111_{(2)} \)이 됩니다.

조금 복잡한 곱셈은 어떻게 하나요? 10배 100배가 아닌 20배 25배는 어떻게 하나요?

예를들어 23 × 15를 생각해봅시다. 23 × 10 + 23 × 5 와 같습니다.

       2 3
  x    1 5
  ---------
     1 1 5
  +  2 3
  ---------
     3 4 5

2진수도 마찬가지입니다. \( 110_{(2)} \times 101_{(2)} = 110_{(2)} \times 100_{(2)} + 110_{(2)} \times 1_{(2)} \)과 같습니다. 그러므로 답은 \( 11000_{(2)} + 110_{(2)} = 11110_{(2)} \)입니다.

           1 1 0   --> 6
  x        1 0 1   --> 5
  --------------
           1 1 0
  +    1 1 0
  --------------
       1 1 1 1 0   --> 30

결과는 \( 110_{(2)} = 6_{(10)}, 101_{(2)} = 5_{(10)} \) 이므로 \( 11110_{(2)} = 30_{(10)} \)이 나옵니다. 그리고 이것은 우연이 아닙니다.

\( 1110_{(2)} \times 101_{(2)} = ?_{(2)} \)

\( 12_{(6)} \times 55_{(6)} = ?_{(6)} \)

(※6진법 구구단 5단을 만들어 보세요.) 5 × 1 = 5, 5 × 2 = 14, 5 × 3 = 30 ...

소수점 표현

소수점표현 역시 10진법과 동일합니다.

\( 0.123 = 0.1 + 0.02 + 0.003 \) 입니다.
\( 1 \times 10^{-1} + 2 \times 10^{-2} + 2 \times 10^{-3} \)입니다.

마찬가지로 \( 0.101_{(2)} = 0.1_{(2)} + 0.001_{(2)} \)로 표현이 가능합니다. \( 0.1_{(2)} = 1 \times 2^{-1} \)이므로 \( \frac{1}{2} =0.5 \)가 됩니다.
\( 0.01_{(2)} = 1 \times 2^{-2} \)이므로 \( \frac{1}{4} =0.25 \)가 됩니다.
\( 0.001_{(2)} = 1 \times 2^{-3} \)이므로 \( \frac{1}{8} =0.125 \)가 됩니다.

\( \begin{aligned} 11.111_{(2)} \text{ }&= \text{ }?_{(10)} \\ 3.14_{(5)} &= \text{ }?_{(10)} \end{aligned} \)

컴퓨터가 저장하는 방식

지수표기법은 1234000와 0.1234를 각각 \( 1.234 \times 10^6 \)과 \( 1.234 \times 10^{-1} \)으로 표현합니다. 컴퓨터 역시 \( 10110000_{(2)} = 1.011_{(2)}^{111_{(2)}} \)로 \( 0.00001011_{(2)} = 1.011_{(2)}^{101_{(2)}} \)로 저장합니다. 아패 예시는 자바프로그램으로 각각의 값을 출력해 본 것입니다. [예제코드]

[2진수 컴퓨터 저장 방식 ▼]

/* 2배씩 늘어날 때 */
[ 0]        1    = 0[011 1111 1]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 1]        2    = 0[100 0000 0]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 2]        4    = 0[100 0000 1]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 3]        8    = 0[100 0001 0]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 4]       16    = 0[100 0001 1]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 5]       32    = 0[100 0010 0]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 6]       64    = 0[100 0010 1]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 7]      128    = 0[100 0011 0]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 8]      256    = 0[100 0011 1]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 9]      512    = 0[100 0100 0]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[10]     1024    = 0[100 0100 1]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[11]     2048    = 0[100 0101 0]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[12]     4096    = 0[100 0101 1]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[13]     8192    = 0[100 0110 0]000 0000 0000 0000 0000 0000
[14]    16384    = 0[100 0110 1]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[15]    32768    = 0[100 0111 0]000 0000 0000 0000 0000 0000

/* 0.5배씩 줄어들 때 */
[ 0]        1    = 0[011 1111 1]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 1] 0.500000    = 0[011 1111 0]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 2] 0.250000    = 0[011 1110 1]000 0000 0000 0000 0000 0000
[ 3] 0.125000    = 0[011 1110 0]000 0000 0000 0000 0000 0000
[ 4] 0.062500    = 0[011 1101 1]000 0000 0000 0000 0000 0000
[ 5] 0.031250    = 0[011 1101 0]000 0000 0000 0000 0000 0000
[ 6] 0.015625    = 0[011 1100 1]000 0000 0000 0000 0000 0000
[ 7] 0.007813    = 0[011 1100 0]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 8] 0.003906    = 0[011 1011 1]000 0000 0000 0000 0000 0000
[ 9] 0.001953    = 0[011 1011 0]000 0000 0000 0000 0000 0000
[10] 0.000977    = 0[011 1010 1]000 0000 0000 0000 0000 0000
[11] 0.000488    = 0[011 1010 0]000 0000 0000 0000 0000 0000
[12] 0.000244    = 0[011 1001 1]000 0000 0000 0000 0000 0000
[13] 0.000122    = 0[011 1001 0]000 0000 0000 0000 0000 0000
[14] 0.000061    = 0[011 1000 1]000 0000 0000 0000 0000 0000
[15] 0.000031    = 0[011 1000 0]000 0000 0000 0000 0000 0000

/* 2배씩 늘어날 때 + 1 */
[ 0]        2    = 0[100 0000 0]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 1]        3    = 0[100 0000 0]100 0000 0000 0000 0000 0000
[ 2]        5    = 0[100 0000 1]010 0000 0000 0000 0000 0000
[ 3]        9    = 0[100 0001 0]001 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 4]       17    = 0[100 0001 1]000 1000 0000 0000 0000 0000
[ 5]       33    = 0[100 0010 0]000 0100 0000 0000 0000 0000
[ 6]       65    = 0[100 0010 1]000 0010 0000 0000 0000 0000
[ 7]      129    = 0[100 0011 0]000 0001 0000 0000 0000 0000
[ 8]      257    = 0[100 0011 1]000 0000 1000 0000 0000 0000 
[ 9]      513    = 0[100 0100 0]000 0000 0100 0000 0000 0000
[10]     1025    = 0[100 0100 1]000 0000 0010 0000 0000 0000
[11]     2049    = 0[100 0101 0]000 0000 0001 0000 0000 0000
[12]     4097    = 0[100 0101 1]000 0000 0000 1000 0000 0000
[13]     8193    = 0[100 0110 0]000 0000 0000 0100 0000 0000
[14]    16385    = 0[100 0110 1]000 0000 0000 0010 0000 0000
[15]    32769    = 0[100 0111 0]000 0000 0000 0001 0000 0000

/* 0.5배씩 줄어들 때 + 1*/
[ 0]        2    = 0[100 0000 0]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 1] 1.500000    = 0[011 1111 1]100 0000 0000 0000 0000 0000
[ 2] 1.250000    = 0[011 1111 1]010 0000 0000 0000 0000 0000
[ 3] 1.125000    = 0[011 1111 1]001 0000 0000 0000 0000 0000
[ 4] 1.062500    = 0[011 1111 1]000 1000 0000 0000 0000 0000
[ 5] 1.031250    = 0[011 1111 1]000 0100 0000 0000 0000 0000
[ 6] 1.015625    = 0[011 1111 1]000 0010 0000 0000 0000 0000
[ 7] 1.007813    = 0[011 1111 1]000 0001 0000 0000 0000 0000
[ 8] 1.003906    = 0[011 1111 1]000 0000 1000 0000 0000 0000
[ 9] 1.001953    = 0[011 1111 1]000 0000 0100 0000 0000 0000 
[10] 1.000977    = 0[011 1111 1]000 0000 0010 0000 0000 0000
[11] 1.000488    = 0[011 1111 1]000 0000 0001 0000 0000 0000
[12] 1.000244    = 0[011 1111 1]000 0000 0000 1000 0000 0000
[13] 1.000122    = 0[011 1111 1]000 0000 0000 0100 0000 0000
[14] 1.000061    = 0[011 1111 1]000 0000 0000 0010 0000 0000
[15] 1.000031    = 0[011 1111 1]000 0000 0000 0001 0000 0000

/* 음수 부호 처리 + 1*/
[ 0]        0    = 0[000 0000 0]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 1] 0.500000    = 0[011 1111 0]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[ 2] 0.750000    = 0[011 1111 0]100 0000 0000 0000 0000 0000
[ 3] 0.875000    = 0[011 1111 0]110 0000 0000 0000 0000 0000
[ 4] 0.937500    = 0[011 1111 0]111 0000 0000 0000 0000 0000
[ 5] 0.968750    = 0[011 1111 0]111 1000 0000 0000 0000 0000
[ 6] 0.984375    = 0[011 1111 0]111 1100 0000 0000 0000 0000
[ 7] 0.992188    = 0[011 1111 0]111 1110 0000 0000 0000 0000
[ 8] 0.996094    = 0[011 1111 0]111 1111 0000 0000 0000 0000
[ 9] 0.998047    = 0[011 1111 0]111 1111 1000 0000 0000 0000
[10] 0.999023    = 0[011 1111 0]111 1111 1100 0000 0000 0000 
[11] 0.999512    = 0[011 1111 0]111 1111 1110 0000 0000 0000
[12] 0.999756    = 0[011 1111 0]111 1111 1111 0000 0000 0000
[13] 0.999878    = 0[011 1111 0]111 1111 1111 1000 0000 0000
[14] 0.999939    = 0[011 1111 0]111 1111 1111 1100 0000 0000
[15] 0.999969    = 0[011 1111 0]111 1111 1111 1110 0000 0000

/* 정수 1을 소수라고 읽었을 때 */
[ 0] 1.4E-45        = 0[000 0000 0]000 0000 0000 0000 0000 0001 
[ 1] 2.8E-45        = 0[000 0000 0]000 0000 0000 0000 0000 0010 
[ 2] 5.6E-45        = 0[000 0000 0]000 0000 0000 0000 0000 0100 
[ 3] 1.1E-44        = 0[000 0000 0]000 0000 0000 0000 0000 1000 
[ 4] 2.24E-44       = 0[000 0000 0]000 0000 0000 0000 0001 0000 
[ 5] 4.5E-44        = 0[000 0000 0]000 0000 0000 0000 0010 0000 
[ 6] 9.0E-44        = 0[000 0000 0]000 0000 0000 0000 0100 0000 
[ 7] 1.794E-43      = 0[000 0000 0]000 0000 0000 0000 1000 0000 
[ 8] 3.59E-43       = 0[000 0000 0]000 0000 0000 0001 0000 0000 
[ 9] 7.175E-43      = 0[000 0000 0]000 0000 0000 0010 0000 0000 
[10] 1.435E-42      = 0[000 0000 0]000 0000 0000 0100 0000 0000 
[11] 2.87E-42       = 0[000 0000 0]000 0000 0000 1000 0000 0000 
[12] 5.74E-42       = 0[000 0000 0]000 0000 0001 0000 0000 0000 
[13] 1.14794E-41    = 0[000 0000 0]000 0000 0010 0000 0000 0000
[14] 2.2959E-41     = 0[000 0000 0]000 0000 0100 0000 0000 0000
[15] 4.5918E-41     = 0[000 0000 0]000 0000 1000 0000 0000 0000 
[16] 9.18355E-41    = 0[000 0000 0]000 0001 0000 0000 0000 0000
[17] 1.83671E-40    = 0[000 0000 0]000 0010 0000 0000 0000 0000
[18] 3.67342E-40    = 0[000 0000 0]000 0100 0000 0000 0000 0000
[19] 7.34684E-40    = 0[000 0000 0]000 1000 0000 0000 0000 0000
[20] 1.469368E-39   = 0[000 0000 0]001 0000 0000 0000 0000 0000
[21] 2.938736E-39   = 0[000 0000 0]010 0000 0000 0000 0000 0000
[22] 5.877472E-39   = 0[000 0000 0]100 0000 0000 0000 0000 0000
[23] 1.17549435E-38 = 0[000 0000 1]000 0000 0000 0000 0000 0000
[24] 2.3509887E-38  = 0[000 0001 0]000 0000 0000 0000 0000 0000
[25] 4.7019774E-38  = 0[000 0001 1]000 0000 0000 0000 0000 0000
[26] 9.403955E-38   = 0[000 0010 0]000 0000 0000 0000 0000 0000
[27] 1.880791E-37   = 0[000 0010 1]000 0000 0000 0000 0000 0000 
[28] 3.761582E-37   = 0[000 0011 0]000 0000 0000 0000 0000 0000
[29] 7.523164E-37   = 0[000 0011 1]000 0000 0000 0000 0000 0000
[30] 1.5046328E-36  = 0[000 0100 0]000 0000 0000 0000 0000 0000
[31] 3.0092655E-36  = 0[000 0100 1]000 0000 0000 0000 0000 0000

덧셈

컴퓨터의 덧셈은 다음과 같이 처리됩니다.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0(올림)

예를들면:

\( 00000000{\color{red}1}010_{(2)} -> 10_{(10)} \)
\( 00000000{\color{red}1}100_{(2)} -> 12_{(10)} \)
(+) ────────────
\( 0000000{\color{red}1}0110_{(2)} -> 22_{(10)} \)

보수 : 음수의 계산

음수를 저장하고자 할 때, 0은 +로 1을 -로 인식하는 방법이 있습니다. 예를들면:

\( {\color{red}0}00000001100_{(2)} -> 12_{(10)} \)
\( {\color{red}1}00000001100_{(2)} -> {\color{red}-}12_{(10)} \)

여기서 연산에 제동이 걸립니다. 결과값이 음수일 때 처리가 쉽지 않았습니다. 이를 좀 더 쉽게 하기 위해, 음수로 되어 있는 이진수에 비트를 모두 뒤집어 줍니다(0 → 1, 1 → 0). 이를 1의 보수라고 하며, 이 때 음수건 양수건 간에 덧셈 연산 후 값이 실제 값과 거의 유사하게 됩니다. 예를 들면,

\( {\color{red}0}00000001100_{(2)} -> 12_{(10)} \)
\( {\color{red}11111111}00{\color{red}11}_{(2)} -> {\color{red}-}12_{(10)} \)
(+) ────────────
\( {\color{red}111111111111}_{(2)} -> {\color{red}-}0_{(10)} \)

\( 00000001100_{(2)} -> 12_{(10)} \)
\( 11111110110_{(2)} -> {\color{red}-}9_{(10)} \)
(+) ────────────
\( 00000000010_{(2)} -> 2_{(10)} \)

위 두수의 결과값은 -1이 나옵니다. 언제나 두 수의 연산 후 값은 -1차이가 납니다. 그러므로, 만약 결과값에 무조건 1을 더한다면 덧셈기 하나만 가지고 모든 연산을 할 수 있게 됩니다. 따라서, 연산시 1을 더할 것이 아니고, 음수에 1을 더함으로써 음수가 연산될 때는 반드시 1을 더한 값이 저장되도록 합니다.

\( 000000001111_{(2)} -> 15_{(10)} \)
\( 11111111000{\color{red}1}_{(2)} -> {\color{red}-}15_{(10)} \)
(+) ────────────
\( 00000000000_{(2)} -> 0_{(10)} \)

\( 00000001100_{(2)} -> 12_{(10)} \)
\( 1111111011{\color{red}1}_{(2)} -> {\color{red}-}9_{(10)} \)
(+) ────────────
\( 00000000011_{(2)} -> 3_{(10)} \)

10진법 :

절대값 :

1의 보수 :

2의 보수 :

마치며

"3.9 + 5.1 = 9 입니까? 9.0입니까? 휴먼?"

링크: 일본 실제 초등학생문제

컴퓨터의 세계에서 1과 001은 다른 수입니다. 마찬가지로, 9와 9.0은 다릅니다. 해당 초등학생은 9.0이라고 답해서 틀렸지만, 컴퓨터는 100% 9.0이라고 대답합니다.
컴퓨터에게 숫자를 알려줄 때엔 몇 자리수인지 알려줘야 합니다. 000111은 7이지만 111은 -1이 될 수 있으니까요.

초기의 컴퓨터는 8자리를 기본으로 사용했습니다. 이후 16자리, 32자리로 늘어났으며, 꽤 오랜시간 동안 32자리 컴퓨터를 사용했습니다. 현재는 64자리 컴퓨터를 사용하고 있습니다.

8자리로 표현 할 수 있는 가장 큰 수는 255입니다.
16자리로 표현 할 수 있는 가장 큰 수는 65535입니다.
32자리는 40억이 넘죠. 왜 한 동안 32자리 컴퓨터를 사용했는지 감이 오시죠? 꽤 큰수로 보이지만 4Gbyte밖에 안됩니다. 영화 한편 보기도 힘들겠네요.
컴퓨터에게 "1을 저장해"라고 하면 안됩니다.
8자리수 1을 저장 할 것인지, 16자리수 1을 저장 할 것인지 알려줘야 합니다.

컴퓨터에겐 1과 1.0을 바라보는 저장하는 방식이 다릅니다.
1.0을 저장하려면 "소수점 형식으로 1을 저장해줘"라고 말해야 합니다.