삼각함수는 삼각형에서 시작하여 이름이 붙었지만, 원의 운동과 밀접하게 관련이 있습니다. 그리고 원은 미학과 최단, 최소와 같은 효율과도 밀접한 관련이 있습니다.
정의
삼각함수란, 직각삼각형에서, 각도(\(\theta\)), 빗변(\(r\)), 밑변(\(x\)), 높이(\(y\))에 대하여, \( \sin\theta = {\displaystyle\frac xr}\), \( \cos\theta = {\displaystyle \frac yr}\), \( \tan\theta = \displaystyle \frac yx\) 와 같이 정의되는 함수를 말합니다. 피타고라스의 정리에 의하여,\[x^2 + y^2 = r^2\] \[\displaystyle {\frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} = 1}\]
\[{\sin^2 \theta} + {\cos^2 \theta} = 1\]중학수학에서는 30°, 45°, 60°에 한하여 특수각이라하고, 암기하였습니다.
| 각도 | 30° | 45° | 60° |
| sin | \(\displaystyle{{{\color{red}\sqrt{1}} \over 2}= {1 \over 2}}\) | \(\displaystyle{{\color{red}\sqrt{2}} \over 2}\) | \(\displaystyle{{\color{red}\sqrt{3}} \over 2}\) |
| cos | \(\displaystyle{{\color{red}\sqrt{3}} \over 2}\) | \(\displaystyle{{\color{red}\sqrt{2}} \over 2}\) | \(\displaystyle{{{\color{red}\sqrt{1}} \over 2}= {1 \over 2}}\) |
| tan | \(\displaystyle{{{\color{red}\sqrt{1}} \over {\color{red}\sqrt{3}}} = {\sqrt 3 \over 3}}\) | \(\displaystyle{{{\color{red}\sqrt{2}} \over {\color{red}\sqrt{2}}} = 1}\) | \(\displaystyle{{{\color{red}\sqrt{3}} \over {\color{red}\sqrt{1}}} = \sqrt 3}\) |
\[\displaystyle {\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} }\]단, 이와같은 직각삼각형에서의 정의는 90°를 넘어서 개념을 확장시키기 어렵습니다. 기존의 직각삼각형으로는 1사분면(또는 2사분면)에 멈춥니다.
개념의 확장
고등과정에서 \(\theta\)의 범위를 0 ~ 90°에서, 실수의 범위(-∞ ~ ∞)로 확장합니다. 아래 :각각의 함수는 sin = y축에 투영, cos = x 축에 투영된 것을 알 수 있습니다.
함수를 정확하게 그릴 필요는 없지만, 몇 가지 기억해야 할 사실들이 있습니다.
- 함수는 360°(2π)마다 반복된다.
- 4구간으로 나누었을 때, 각각 1, 2, 3, 4분면에 위치하며, 모양이 정확하게 일치한다.
- 최대, 최소값은 1과 -1이고, y=0에서의 기울기가 1이다.
라디안radian
각도 값은 라디안radian을 사용합니다. 라디안(\(\theta\)=각도)은 반지름이 1일 때, 호의 길이와 같습니다. 따라서, 반지름이 r일 때, 호의 길이(\(l\))은 \(l = r\theta\) 가 됩니다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같습니다. (마우스를 올려보세요.)
원호와 움직이는 삼각형의 넓이는 같습니다. 이유는:
\[ 넓이(S) = {\color{red}{ \theta \over {2 \pi}}}\times {\color{red}{\pi{r^2}}} = {{1}\over{2}} {r^2} \theta = {{1}\over{2}}r \times r \theta = {\color{red}{{1}\over{2}}rl}\] 라디안을 사용하는 이유는 반지름 1인 원을 기준으로 하고 있기 때문에, (호의)길이나 부피를 구하는데 직관적이라는 장점이 있습니다.
특징
sin함수와 cos함수는 \(\displaystyle{\frac 12 \pi}\)의 위상차이를 보입니다. 여기서 위상이란, 주기를 갖는 함수들(정현파(sin파), 구형파, 삼각파, 톱니파)을 분석하는 용어 중 하나입니다.\[ f(t)=A \cdot func (ft + C)\] 위 식에서A(Amplitude, 진폭), f(frequency, 주기), C(Phase, 위상)를 나타내며 신호를 분석하는데 중요한 지표가 됩니다.
sin함수는 주기(f)가 2π이고, 크기(A)가 1, 위상(P)이 0인 정현파가 됩니다.
cos함수는 주기(f)가 2π이고, 크기(A)가 1, 위상(P)이 -½π인 정현파가 됩니다.
이를 식으로 나타내면,
\[ cos(x+\frac 12 \pi) = \sin x\]