코사인법칙 증명
유도하는 과정
- cos B를 구하고 싶습니다. cos B가 들어간 방정식을 만들어 봅니다.
- ?에 sin B를 사용하면 항등식으로 흘러가니
(큰 의미 없는 결과가 나오니), 다른 방법을 모색해봅니다.
높이를 위한 피타고라스 정리
- 붉은 색 삼각형을 주목합니다.
- 밑변의 길이는 c에서 a cosB를 뺀 값으로 구 할 수 있습니다.
- 붉은 색 삼각형을 피타고라스 정리를 이용해서 높이를 구할 수 있습니다. \[ 높이^2 = 빗변^2 - 밑변^2 \]
- \( ? = \sqrt{b^2 - (c -a\cos B)^2}\)
완성
- 푸른 색 삼각형을 주목합니다.
- 피타고라스 정리로 식을 완성합니다.
\( \sqrt{b^2 - (c -a\cos B)^2}^2 + a \cos B = a^2 \) - 식을 정리합니다.
\( b^2 - c^2 + 2ac\cos B - \cancel {(a\cos B)^2} + \cancel {(a\cos B)^2} = a^2 \)
\(2ac \cos B = a^2 + c^2 - b^2 \)
\( \displaystyle \cos B = \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \)
\[ \cos B = \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]
응용
제1 코사인 법칙
다음을 정리합니다.\( \begin{aligned} a \cos B + b \cos A &= \cancel a \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cancel ac} + \cancel b \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cancel bc } \\ &= \frac{\cancel{a^2} + c^2 - \cancel{b^2} + \cancel{b^2} + c^2 - \cancel{a^2}}{c} \\ &= \frac{c ^ \cancel 2}{\cancel c} = c \end{aligned} \)
\[ c = a \cos A + a \cos B \]
코사인 법칙 변형
\( \displaystyle \cos B = \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \)
\( 2ac \cos B = a^2 + c^2 - b^2 \)
\( b^2 = a^2 + c^2 - b^2 - 2ac \cos B\)
\[ b^2 = a^2 + c^2 - b^2 - 2ac \cos B\]