오늘의 주제: 1 + 1은 반드시 2일까?
수학은 때때로 "현실에서 아무 쓸모 없다. 또는 일부 특수한 사람들만 사용하는 도구이다."라는 인식을 줍니다. 이렇게 생각하게 된
이유는 (개인적인 의견입니다만) 중·고등학교의 수학이 대수학(미지수를 활용한 수학)에 과도하게 치우쳐져 있습니다. 그래서 일부는
\(x\)를 구하는 것이 수학이라고 오해하고 있습니다. 하지만 수학은 현실을 기호로 간단하게
기록하기 위한 학문이지, 덧셈 뺄셈을 빠르고, 틀리지 않게 하는 학문이 아니라는 것입니다. 아무리 정교하고 빨라도 계산기와
컴퓨터를 이길
수 없으며, 우리가 원하는 인재는 그런 사람이 아닙니다.
현실에서 덧셈과 뺄셈으로 모든 것을 해결 할 수 없습니다. 예를 들어보겠습니다. "물"과 "물"를 더하면 무엇이 될까요? 그것은 "물"가 됩니다. 그렇다면, "민수"와 "예은"을 합치면 "2명"이 되는 것이 아니고 "민수와 예은"이 됩니다. 아니면 하나의 가정을 이루어 "민수네" 또는 "예은이네"라고 불리울 수도 있습니다. 이것이 현실입니다. 그렇다면, 수학적으론 어떻게 표현 할까요?
집합set단원에서는 이러한 상황을 어떻게 수학적 기호로 나타낼 수 있는지 다룹니다. 또한 프로그래밍의 다른 자료형인 리스트list, 튜플tuple, 맵map, distionary과 비교해보면서 집합set의 개념을 명확히 해봅시다.
현실에서 덧셈과 뺄셈으로 모든 것을 해결 할 수 없습니다. 예를 들어보겠습니다. "물"과 "물"를 더하면 무엇이 될까요? 그것은 "물"가 됩니다. 그렇다면, "민수"와 "예은"을 합치면 "2명"이 되는 것이 아니고 "민수와 예은"이 됩니다. 아니면 하나의 가정을 이루어 "민수네" 또는 "예은이네"라고 불리울 수도 있습니다. 이것이 현실입니다. 그렇다면, 수학적으론 어떻게 표현 할까요?
집합set단원에서는 이러한 상황을 어떻게 수학적 기호로 나타낼 수 있는지 다룹니다. 또한 프로그래밍의 다른 자료형인 리스트list, 튜플tuple, 맵map, distionary과 비교해보면서 집합set의 개념을 명확히 해봅시다.
특징
집합은 말 그대로 어떤 것들의 모음입니다. 우리는 그 어떤 것을 원소element 또는 구성원member라고 합니다. 모든 것이 원소가 될 수 있습니다. 그것은 숫자가 될 수도 있고, 사람이 될 수도 있고, 개념이 될 수도 있고, 심지어는 또 다른 집합이 집합의 원소가 될 수도 있습니다. 집합은 중괄호({ }) 안에 원소를 쉼표로 구분하여 나열하도록 합니다. $$ 개나리반 = \{ 김민수, 이예은, 박찬구, 최아람\} $$ $$ 사람 = \{ 측은지심, 수오지심, 사양지심, 시비지심 \} $$ $$ 소풍명단 = \{ 개나리반, 장미반, 신짱구, 송지원\} $$집합의 가장 큰 특징은 중복을 허용하지 않는다는 것입니다. 그렇다면 중복이란 무엇이며, 허용한다는 것은 무엇을 의미할까요? 우선 가장 간단하게 떠올릴 수 있는 쇼핑리스트를 생각해봅시다. 나의 쇼핑리스트에 지우개와 팬이 있고, 친구의 쇼핑리시트에 팬과 자가 있습니다. $$ 쇼핑리스트_{나} = [지우개, 팬]$$ $$ 쇼핑리스트_{친구} = [팬, 자]$$ $$ 쇼핑리스트_{나} + 쇼핑리스트_{친구} = [지우개, 팬, 팬, 자]$$
리스트list는 배열array의 가장 단순한 형태입니다. 리스트는 중복을 허용합니다. 무언가 추가되면 리스트의 가장 아래에 내용을 추가하면 됩니다. 단, 집합과 혼용되는 것을 막기 위해 대괄호([ ])로 표시하는 것이 일반적입니다. 같은 예를 집합에 적용해 보겠습니다. $$ 선호과목_{수학} = \{재이, 찬민, 예찬\}$$ $$ 선호과목_{과학} = \{예찬, 태웅\}$$ $$ 선호과목_{수학} + 선호과목_{과학} = \{재이, 찬민, 예찬, 태웅\}$$ 당연하게도 수학과 과학을 좋아하는 아이들을 열거할 때, 예찬x2가 되지 않습니다.
배열 array: 순서 ○, 중복 ○, ( )
리스트 list: 순서 ×, 중복 ○, [ ]
집합 set: 순서 ×, 중복 ×, { }
이제 프로그램으로 구현한다고 할 때, 고려해야 할 것을 알아봅시다. 실생활에서 순서를 고려하지 않는 리스트를 만든다는 것은 불가능 할 것입니다. 실제로도 컴퓨터에 구성된 리스트는 모두 순서를 가지고 있습니다. 다만 수학적으로 순서가 다르더라도 구성원이 같다면 같은 리스트(집합)으로 간주한다는 것을 의미합니다.
배열의 가장 흔한 예시는 좌표계나 순서쌍을 들 수 있습니다.직교좌표계에서는 (3, 4), 3차원 좌표계에서는 (4, 5, 6) 등으로 표현합니다.
연산operator
중복을 허용하지 않는다는 룰 때문에 더하기 연산 결과물에 차이가 난다는 것을 배웠습니다. 마찬가지로 세트의 덧셈(∪), 뺄셈(-), 곱셈(∩)에 대해서 공부해 봅시다.물론 덧셈기호를 그대로 사용해도 의미가 통합니다. 심지어 코딩에서는 당연하게 덧셈기호를 사용합니다. 이는 개념적으로도 직관적으로도 (그리고 타이핑 하기에도) +가 유리하다는 뜻입니다. 개인적으로는 고리타분한 수학 때문에 합기호(∪)를 사용한다고 생각합니다. 덧셈을 ∪으로표현하는구나, 교집합=곱셈을 ∩으로 표현하는 구나하고 넘어가시면 됩니다.(교집합이 왜 곱셈인지는 나중에 나옵니다.) 식으로 표현하면 다음과 같습니다. $$ A = \{1, 2, 3\} $$ $$ B = \{3, 4, 5\} $$ $$ A∪B = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ $$ A∩B = \{3\} $$ 뺄셈 연산은 있는 것들만 빼주면 됩니다. $$ A-B = \{1, 2\} $$ 이외에 여집합연산이 있습니다. 여집합
벤다이어그램Venn diagram
벤다이어그램은 앞서 언급했던 집합의 형태를 그림으로 보여줍니다. 각 연산 결과는 음영으로 표시합니다. 오른쪽 버튼을 눌러서 어떤 결과를 가져오는지 직접 시험해봅시다.
조건
여기까지 알아본바로 정리하자면, 1 + 1 = 2 가 맞습니다만, 세트의 경우 {1} + {1} = {1} 이고, 이것도 엄연한 수학의 영역입니다. 알아본 김에 세트의 표기법에 대해서 좀 더 알아보겠습니다.
집합을 서술하고자 할 때, 원소를 단순히 나열하는 것만으로도 충분합니다. 하지만, 간결하게 표현하고 싶을 때 조건을 나열함으로써 해결 할 수 있습니다. 예를 들어보겠습니다. $$ 체육대회참가자명단 = \{ 민준, 서준, 도윤, 예준, ... , 지후\} \\ = \{ 참가자 | 참가자=100m달리기 기록이 15초 이하인 사람\} $$ $$ B = \{ x | x < 15\} $$ 아마 이해가 빠른 분들 중에서는 배열(순서쌍)을 원소로 하는 배열도 존재하겠는데?라는 의문을 가지실 것입니다. 맞습니다. 예를 들어보겠습니다.원이란 무엇이냐? 원은 중심이 있고 동그란 도형입니다. 중심에서 도형까지의 거리는 언제나 같습니다. 좀 더 정확한 정의로는 원이란 어떤 점으로부터 거리가 같은 점들의 '집합'입니다. '거리'? 거리라면 피타고라스 정리를 이용해야겠군요. 원점 (0, 0)으로부터 거리가 1인 원을 그려보겠습니다. $$ 원 = \{(x, y)| x^2+y^2=1\} $$ 조건을 서술하기 위한 또 다른 표현 방법으로는 :(콜론)을 이용한 표현 방법입니다. $$ p : -3 < x < 4 $$ $$ P=\{x | -3 < x < 4\} $$ 윗 줄의 소문자 p는 명제라 하고, 아랫 줄의 대문자 P는 p의 진리집합이라고 합니다. 명제란 참 또는 거짓이 될 수 있는 개념이고, 그 명제에서 참인 부분만 모아놓은 것이 진리 집합이라고 할 수 있습니다.
사람은 동물이다. 그러므로 동물은 사람이다. 이 말에 어떻게 반박해야 할까요? 취향을 존중해 달라고 했더니, 취향존중을 강요하지 말라고 합니다. 한 번쯤 당해보았던 빡침의 순간들을 수학적으로 반박 할 수 있습니다. 어찌 구미가 좀 당기십니까? 명제의 세상으로 떠나 봅시다.
명제
명제란 참true,T 또는 거짓false,F을 판단할 수 있는 문장을 말합니다.| 명칭 | 기호 | 읽는 법 | 비고 |
| 부정 | ~p | not p | |
| 논리곱 | p∧q | p and q | ×, 그리고 |
| 논리합 | p∨q | p or q | ＋, 또는 |
| 조건 | p→q | if p, then q | |
| 쌍조건 | p↔q | p if and only if q(p iff q) | |
| 배타적논리합 | p⊕q | p xor q | |
왜 "곱하기 = 그리고"이고, "더하기 = 또는"인지 이해하기 어려울 것입니다. 우선 "있다"와 "없다"부터 차근차근 가보겠습니다. "없다"라는 것은 0입니다. 반대로 "있다"라는 것은 "0이 아닌 것, 즉 1 이상인 것(>1)"을 의미할 것입니다.
| 경우의 수 | 1번 명제 | 2번 명제 | 곱하기, 그리고 | 더하기, 또는 |
| 1 | 없다=0 | 없다=0 | 0x0=0 없다 | 0+0=0 없다 |
| 2 | 없다=0 | 있다=1 | 0x1=0 없다 | 0+1=1 있다 |
| 3 | 있다=1 | 없다=0 | 1x0=0 없다 | 1+0=1 있다 |
| 4 | 있다=1 | 있다=1 | 1x1=1 있다 | 1+1=2 있다 |
명제A : "현재 날씨는 비가 온다. 그리고 현재 날씨는 맑다."명제A는 틀린 말임을 직감적으로 알 수 있습니다. 왜냐하면 동시에 둘 다 만족할 수는 없기 때문입니다. 명제B의 경우 "또는"으로 연결된 명제 중 하나만 맞아도 참인 문장이 됩니다. 따라서 "곱하기 = 모두 참(1)이어야 결과가 참 = 그리고", "더하기 = 하나라도 참(1)이면 결과가 참 = 또는"이 됩니다.
명제B : "현재 날씨는 비가 온다. 또는 맑다. 또는 흐리다. 또는 눈이 온다."
이러한 내용들을 종합하여 논리표로 그리면 아래와 같은 결과가 나옵니다.
| p | q | Logical | Not | And | Or | Xor | If | Iff |
| Mathmatics | ~p | p ∧ q | p ∨ q | p ⊕ q | p → q* | p ↔ q | ||
| Programmers | !p | p & q | p | q | p ^ q | - | p=q | ||
| F | F | T | F | F | F | T | T | |
| F | T | F | T | T | T | F | ||
| T | F | F | F | T | T | F | F | |
| T | T | T | T | F | T | T | ||
| 비고 | p가 아님 | 모두T면 T | 하나라도T면 T | T가 홀수면 T | p⊂q가 성립하면 T | p=q가 성립하면 T | ||
명제C : "사람이면 동물이다."'~이다.' 는 언어를 불문하고(is, です... )의 고질적 문제라면 포함관계임에도 불구하고 동등한 관계로 오해하기 쉽다는데 있습니다. 명제C는 '사람', '동물'이라는 개념이 들어가 있고, 명제D는 작은 명제들로 이루어진 복합명제입니다. 명제든 명사든 개념으로써 그 범위가 존재하고 어려운 말로는 외연이라고 합니다.
명제D : "x는 5보다 작다. 그렇다면 x는 10보다 작다."